Yazan: 
Okul hayatımızda sıklıkla duyduğumuz klişelerden birisidir “yeağ bunlar hayatımızda ne işimize yarayacak yeağ”. Belki de bu yüzden, günlük hayatımızda matematik bilmiyor olmamızın sıkıntılarını çekiyoruz.
Son günlerde internette 8 ÷ 2(2 + 2) = ? sorusunun cevabının tartışıldığını görüyoruz. Bazılarımız 16 diyor, bazılarımız 1 diye hesaplıyor. İnsanlar iki tarafa cepheleşiyor ve her taraf kendisinin cevabını doğru ilan ediyor. Özellikle Twitter, bu tip körlemesine gruplaşmalar ve kapışmalar için mükemmel bir ortam sunuyor. Peki hangi cevabın niye doğru veya niye yanlış olduğuna ne kadar kafa yoruyoruz? Bu İşin Aslı nedir? Hemen açıklayalım.
Aslında bu verilen soru, çok daha eski bir internet tartışmasına dayanıyor. CASIO hesap makinelerinin tutarsız sonuçlarına dayalı fotoğraflar birer “meme” haline gelmiş durumda. Mesela, 9 ÷ 3(1 + 2) yazdığımızda, fx-991ES modeli 9 sonucu verirken, fx-991ES PLUS modeli 1 sonucu veriyor. Cep telefonumuza 6 ÷ 2(2 + 1) yazdığımızda 9 sonucu çıkarken, CASIO’nun fx-570MS modeli 1 sonucu veriyor. Aynı kıyaslamayı CASIO fx-50FH SUPER-FX PLUS ile yaptığımızda, 9 sonucu çıkıyor. CASIO’nun bu tutarsız hesaplamaları, internette bazı sitelerde alay konusu olmuştu uzun zaman önce, ama gündemi Facebook ve Twitter üstünden takip edenlerin bunları hatırlamaması veya görmemiş olması doğal. Tam da bu yüzden 8 ÷ 2(2 + 2) sorusu, bir anda sosyal medya ve haber sitelerinin gündemine oturmuş.
Konuya girmeden önce, İlkokul matematik bilgisinden başlayalım.
Şöyle düşünün, 6 kişilik bir arkadaş grubuyla bir yerde oturuyorsunuz. Arkadaşlarınız sizi markete kola almaya gönderdi, gruptan bazıları Pepsi, bazıları Coca-Cola tercih etti. Market dolabında kolaları alırken şu şekilde saydınız: “1 Pepsi, 2 Pepsi, 3 Pepsi, 1 Coca-Cola, 2 Coca-Cola, 3 Coca-Cola”. Kasaya gidip ödeme yapmak istediğinizde, market sahibi sizden 6 kola parası aldı. Şu an elinizdeki kutu kolaları saymak istediğinizde, şu şekilde sayacaksınız: 1 kola, 2 kola, 3 kola, 4 kola, 5 kola, 6 kola. 3 Pepsi ile 3 Coca-Cola’nın 6 kola olarak sayılmasına neden olan işleme “toplama” işlemi denir. 3 + 3 = 6 diye yazılır. Masaya döndüğünüzde, kolaları Pepsi ve Coca-Cola diye ayırıp dağıttınız. 6 tane kola’dan 3 Pepsi’yi bir tarafa koyduğunuzda, elinizde 3 Coca-Cola kaldı. Bu işleme de çıkarma işlemi diyoruz. 6 – 3 = 3 diye yazılır. Toplama işlemi + işareti ve Çıkarma işlemi – işaretiyle gösterilir.
Bir süre sonra, arkadaşlarınız bu sefer de marketten sigara almanızı istedi. Gittiniz ve bu sefer 3 paket sigara aldınız. Döndüğünüzde paketleri açtığınızda her birinin içinden 20 adet sigara çıktığını gördünüz. 3 paketteki 20 sigarayı topladığımızda 60 sigara ediyor Bu sigaraların hepsini tek tek saymak istemezsek, kolay yoldan çarpma işlemi yapabiliriz. 3 grupta toplanmış 20 eşyayı, 3 × 20 diye hesaplayıp sonucun 60 çıktığını bulabiliriz. Arkadaşlarınıza bu sigaraları eşit bölüştürmek istediğinizde, her birine 10 sigara düştüğünü görüyoruz. 60 eşyayı 6’lık gruba ayırdığımızda her birine 10 adet kalmasına bölme işlemi diyoruz. Bunu da 60 / 6 = 10 diye yazıyoruz. Çarpma işlemi × , * , · işaretleri ve Bölme işlemi / , ÷ , : işaretleriyle gösterilir.
Bu anlattıklarımızı bir adım ileriye götürelim. Kutu kolaların fiyatı ve sigaranın fiyatı marketten markete değişebilir. Bu değişikliği ifade edebilmek için, kolaların fiyatına a, paket sigaranın fiyatına b diyelim. Arkadaşlarımız için markete ödediğimiz parayı hesaplayabilmek için 6 × a + 3 × b = c diye bir denklem kurduk. Bunu 6a + 3b = c şeklinde yazabiliriz, aynı anlama geliyor. Bu cebirsel ifade (algebraic expression) konusuna giriyor. Biz gittiğimiz o markette kolaların her birine 5 TL, sigara paketlerinin her birine 15 TL ödedik. Toplamda ödediğimiz parayı hesaplamak için a yerine 5, b yerine 15 yerleştiriyoruz. 6 × 5 + 3 × 15 haline geliyor. Bunun sonucu da 30 + 45 yani 75 oluyor. O gün cebimizden 75 TL çıkmış.
“Ayy ben bunları biliyorum zaten, amma uzattın” diyenler için esas soru geliyor. 6 × 5 + 3 × 15 işlemini hesaplarken sonuç neden 75 çıkıyor da, 720 ( yani 6 × (5 + 3) × 15) veya 495 ( yani (6 × 5) + 3) × 15) çıkmıyor? Neden istediğim gibi çarpıp bölüp çıkartıp toplayamıyorum?
Burada modern matematikteki PEMDAS devreye giriyor. Yani Parentheses – Exponents – Multiply – Divide – Add – Subtract baş harflerinin kısaltması. Bazı ülkelerde BODMAS (yani Brackets – Order – Divide – Multiply – Add – Subtract) da deniyor. Matematik işlemlerinde sırasıyla önce Parantez içinin yapıldığı, sonra Üslü sayıların hesaplandığı, ardından Çarpma ve Bölme işlemine geçildiği ve son olarak da Toplama ve Çıkarma işlemlerinin yapıldığı ifade edilir. Tabii bu işlemleri her zaman soldan sağa doğru yapmamız gerekiyor. Her parantezin içinde de bu kurala dikkat etmemiz gerekiyor. Bize uyarlamak istediğimizde PÜÇBTÇ gibi abuk bir kısaltma oluyor, aynı etkiyi vermiyor. O yüzden PEMDAS diyip geçelim.
1 + 2 hesaplamak istersek, zaten tek bir işlem var, 3 çıkıyor.
1 + 2 × 3 hesaplamak için, önce ilk çarpma ya da bölme işlemini yapıyoruz. 2 × 3, 6 eder. Çarpma ve bölme işlemleri bittiği için başa dönüp toplama ya da bölme işlemlerini yapıyoruz. 1 + 6, 7 eder. Sonucumuz 7’dir.
7 – 1 × 0 + 3 ÷ 3 hesaplayalım. Önce soldan sağa çarpma ya da bölme işlemleri. 1 × 0 = 0. 3 ÷ 3 = 1. İşlemimiz 7 – 0 + 1 haline geliyor. Bu sefer de soldan sağa toplama ya da çarpma işlemleri yapıyoruz. 7 – 0 = 7. 7 + 1 = 8. Demek ki sonucumuz 8.
(1 + 4) × 3 + 2 hesaplayalım. Önce parantezin içi, 1 + 4 = 5. Sonra çarpma ya da bölme işlemleri. 5 × 3 = 15. Sonra toplama ya da çıkarma işlemleri. 15 + 2 = 17. Böylelikle sonucumuz 17.
Buraya kadar PEMDAS’ın mantığını anladıysanız, biraz daha komplike bir örneğe atlıyoruz.
300 – (4 × 2² + 6 ÷ 2(2 + 2)) bunu nasıl hesaplayacağız?
İşlem sırasını daha rahat anlayabilmek için şu şekilde parantezlere alalım: 300 – ((4 × (2²) + ((6 ÷ 2) × (2 + 2))). Önce parantezler, sonra üslü sayılar, sonra çarpma ya da bölme, en son olarak toplama ya da çıkarma. 300 – (4 × 2² + 6 ÷ 2(2 + 2)) işleminde ilk önceliğimiz (4 × 2² + 6 ÷ 2(2 + 2)) parantezi. Fakat bunun için de (2 + 2) parantezi var ve bu sefer onu önceliğe almamız gerekiyor. 2 + 2 = 4. İlk Parantezimizin içi (4 × 2² + 6 ÷ 2 × 4) haline geliyor. Bu sefer üslü sayıları hesaplamamız lazım. 2² = 4. Parantemizin içi (4 × 4 + 6 ÷ 2 × 4) haline geliyor. Şimdi çarpma ya da bölme işlemlerine geçebiliriz. 4 × 4 = 16. 6 ÷ 2 = 3. 3 × 4 = 12. Parantemizin içi (16 + 12) haline geliyor. Şimdi de toplama ya da çıkarma işlemlerini yapıyoruz. 16 + 12 = 28. Parantemizin içi bitti ve sonucu 28 çıkardık. İlk işleme geri dönelim. 300 – 28. Burada sadece çıkarma işlemi kaldı ve bu işlemi yaptığımızda 272 sonucunu elde ediyoruz.
Bir matematik işleminin hangi sıralamayla yapıldığında uzlaşabildiysek, bu sefer 8 ÷ 2(2 + 2) goygoyuna geri dönebiliriz. PEMDAS’ı kullanarak bu soruyu çözelim. Önce parantez, 2 + 2 = 4. Soru 8 ÷ 2 × 4 haline geldi. Şimdi elimizde sadece çarpma ve bölme işlemleri var ve yine soldan sağa doğru gitmemiz gerekiyor. 8 ÷ 2 = 4. 4 × 4 = 16.
Burada unutulmaması gereken bir detay var. (a+b+c) dediğimizde, a, b, c terimleri parantezin içindedirler. Ancak a(b+c) dediğimizde, sadece b ve c terimleri parantezin içindedir, a terimi parantezin dışındadır. Parantezin dışında kalan terimler, “işlemlerde parantez önceliği” kuralının da dışında kalırlar. 2 ile 3’ü çarparken, 2 × 3, 2 * 3, 2 · 3, 2(3) olarak yazabiliriz. Hepsi 2 çarpı 3 anlamına gelir. Ancak 2(3) diye yazdığımızda, 3’ün etrafında parantezin olması, 2’nin de paranteze dahil olduğu anlamına gelmez. Haliyle, 2 × 3’ü nasıl hesaplıyorsanız, 2(3)’ü de aynı şekilde hesaplamak zorundasınız.
Yani “16 mı 1 mi?????” tarzı goygoyların cevabı maalesef ama 1 değil.
Baştaki CASIO mevzusuna bakarak, insanların yanlış hesaplaması ve doğru cevabın 1 olduğunda ısrarcı olması çok da şaşırtıcı değil. Cep telefonlarına indirebildiğimiz (birbirinin kopyası olan) bazı hesap makinesi uygulamaları var. Bunlar da aynı hataya düşüyor. Buraddaki hata şu, 8 ÷ 2 × 4 hesaplarken, 8’i bir pay, 2 × 4’ü ise bir payda olarak görmesi. Oysa bir bölme işlemini pay ve payda olarak ayırabilmemiz için, (a + b) ÷ (x + y) benzeri parantezlere ayrılmış olması gerekiyor. 8 ÷ 2 × 4 için işlemleri soldan sağa yapmak zorunda olduğumuzdan, 8 ÷ (2 × 4) şeklinde ayırmamız mümkün değil.
Eğer hesap makinemizin veya cep telefonumuza indirdiğimiz uygulamanın doğru hesaplama yapıp yapmadığını denemek istiyorsak, bu goygoy soruyu kullanabiliriz. Bu sayede PEMDAS kuralına dikkat edip etmediğini anlayabiliriz. Ya da daha iyi emin olabilmek için 300 – (4 × 2² + 6 ÷ 2(2 + 2)) sorusunu kullanabiliriz.
Konuyu burada noktalamıyoruz. Bir mevzu daha var. Bir süredir internette rastladığım bir iddiadan bahsetmezsem olmaz. Bu iddia, “Bölme” işlemi için kullandığımız ÷ işaretinin, 1900’lü yıllarda farklı anlama geldiğini söylüyor. Bu iddiaya göre, “obelus” anlamına gelen bu işaret, sol tarafındaki her şeyi bir pay, sağ tarafındaki her şeyi bir payda olarak hesaplıyor. Bir örnekle izah etmek gerekirse, 1 + 2 + 3 ÷ 1 + 2 + 3 sorusu, modern matematikte 1 + 2 + (3 ÷ 1) + 2 + 3 işlem sırasına göre 11 sonucu verirken, 1900’lü yıllardaki matematikte (1 + 2 + 3) ÷ (1 + 2 + 3) işlem sırasına göre 1 sonucu vermekte. Ancak bu iddia, bazı hesap makinesi ve uygulamalarda ÷ yerine / işareti kullandığımızda da hatalı işlem sırası izliyor olmasını açıklamıyor.
Bu bahsettiğim obelus iddiasının aslı nedir diye merak eden birisi oturmuş araştırma yapmış. Araştırmaya şu linkten ulaşabilirsiniz: https://divisbyzero.com/2017/09/15/the-division-symbol-goes-viral/ Bulduğu bilgiye göre, obelus işareti, 1525 ile 1915 yıllarında arasında çıkartma işlemlerinde kullanılıyormuş. Obelus işaretinin bölme işlemi için kullanıldığı bilinen ilk tarih 1659 imiş ve Pell’in sembolü olarak biliniyormuş. ÷ ve : işaretlerinin kullanımı, bölgeden bölgeye değişiklik gösterebiliyormuş. 1923 yılında Mathematical Association of America, iş hayatında bölme işlemi için ÷ ve : işaretleri kullanılmadığından, bu işaretlerin kaldırılıp yerlerine / işaretinin konulmasını talep etmiş. Ancak bu işaretin kesirler için kullanıldığına dair herhangi bir bilgi bulunmuyormuş.
Matematik tarihi boyunca bir çok önemli değişiklik ve gelişme yaşanmıştır. Bunlar araştırılması ve okunması ilginç ve keyifli olabilir. Ama günümüzde bir matematik hesabı yapacaksak, matematiğin modern kurallarına uymak ve bunları öğrenmek zorundayız. Bu da PEMDAS’ı takip etmemiz anlamına geliyor.
